我 Jamming，故我在

Monty Hall problem

2018-07-13T12:21:00+00:00

Monty Hall problem

Suppose you’re on a game show, and you’re given the choice of three doors. Behind one door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say number 1, and the host, who knows what’s behind the doors, opens another door, say number 3, which has a goat. He says to you, “Do you want to pick door number 2?” Is it to your advantage to switch your choice of doors?

上面引述的這段話是經典的機率問題，出現在 Let’s Make a Deal 美國電視節目上。主持人會提供三道門讓玩家選擇，其中只有一扇門背後是車子，另外兩扇門你打開會看到山羊。在你選擇了某扇門之後，主持人會打開一扇後面是山羊的門，然後會再次給你選擇的機會，請問這時候你要換嗎？還是繼續堅持自己原本的選擇呢？到底換或不換哪邊猜中車子的機率比較大呢？

在思考機率這類問題，盡量不要依賴直覺，通常你的直覺只會幫倒忙。像作者原本憑直覺覺得換或不換機率都是 $\frac{1}{2}$，深入了解問題後才發現案情並不單純。通常 sample space 不大的情況下，我們可以把每個可能的 outcome 列出來，並把每個 outcome 的機率計算出來。最後釐清題意，例如問題可以是「車子在 door C 的機率是多少」，又或者「玩家換的話，贏的機率是多少」。暸解問題後，接下來就是定義符合這次 event 的 outcome 有哪些，把這些機率全部加起來，這樣就算大功告成了。

在我們找出 sample space 之前，為了讓案情更單純，我們先做一些假設：

車子出現在 $\{A,B,C\}$ 這三扇門之一的機率是一樣的
玩家的選擇是隨機的，跟車子在哪扇門沒有關係
玩家做出選擇後，主持人一定要隨機打開某扇背後是山羊的門，並給玩家再次選擇的機會

下面這張圖是列出假如車子在 door A 的所有 outcome，例如 $\{A,C,B\}$ 就是指車子在 door A、玩家選擇 door C、主持人只能選擇 door B。 $\{A,A,B\}$ 則是指車子在 door A、玩家選擇 door A、主持人隨機選了 door B。

graph LR subgraph level 0 L0{car location}-- A -->L11{player's guess} L0-- B -->L12{player's guess} L0-- C -->L13{player's guess} end subgraph level 1 L11-- A -->L21{host open door} L11-- B -->L22{host open door} L11-- C -->L23{host open door} end subgraph level 2 L21-- B -->L31[host open B] L21-- C -->L32[host open C] L22-- C -->L33[host open C] L23-- B -->L34[host open B] end

這兩個 outcome 組成的 event 的機率又是多少呢？ $\begin{align*} \Pr(\{(A,C,B),(A,A,B)\}) &= \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\\ &= \frac{1}{6} \end{align*}$

車子在 door B or C 的所有可能就請讀者自行腦補，作者這邊直接列出樣本空間。

$S = \left\{ \begin{align*} (A,A,B),(A,A,C),(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,B,A),\\ (B,B,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A),(C,C,A),(C,C,B) \end{align*} \right\}$ and $\Pr(S) = 1$

回到原本的問題，在主持人打開一扇門，門後是山羊的狀況下，玩家如果更換選擇，贏的機率是多少呢？符合這個事件的 outcome 有 $\{(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A)\}$

計算每個 outcome 的機率再通通把它加起來，結果玩家更換選擇真的比較好，有沒有很神奇呢！

\[\begin{align*} \Pr(wins\:by\:switching) &= \Pr(\{(A,B,C)\}) + \Pr(\{(A,C,B)\}) + \Pr(\{(B,A,C)\}) +\\ &\quad\quad \Pr(\{(B,C,A)\}) + \Pr(\{(C,A,B)\}) + \Pr(\{(C,B,A)\})\\ &= \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}\\ &= \frac{2}{3} \end{align*}\]

筆記就先寫到這邊，希望讀者下次遇到機率問題不會再顏面抽搐、宛如身在地獄。話雖如此，要克服看到機率就頭痛的症狀恐怕很難，作者也還在治療中 : P

Iterators and Generators

2018-05-14T08:27:00+00:00

Iterators and Generators

for element in iterable:
    pass  # do something with element

在 Python 如果要迭代某個容器，上面的程式碼是很常見的做法，只要這個物件是 iterable 都可以這樣處理，例如 list set dict 等，或者讀檔也有類似的寫法。那要怎樣才能產生 iterator 呢？我們可以透過 iter(iterable) 得到 iterator，再用 next(iterator) 依序查訪容器裡每個元素，直到 iterator 拋出 StopIteration exception，Python 則提供 for-loop 語法簡化這個流程。

generator 長得很像 iterator，實作的方法是寫一個 function，一般的 function 如果需要回傳值可以用 return 回傳結果給 caller，但 generator 用 yield 來回傳結果。下面提供一個經典範例：[1]

def fibonacci(n):
    a, b = 0, 1
    for i in range(n):
        yield a
        a, b = b, a + b

[x for x in fibonacci(10)]  # print [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34]

generator 執行流程長得很像 coroutine，可以有多個 entry point，再透過 generator method 來控制執行流程。[2]

由於 generator 太過強大，導致筆者常常寫出佈滿臭蟲的 generator，不過用得好的話，也可以讓我們的程式碼看起來更簡潔。話不多說，再來看看一個簡單的範例：

g1 = (i for i in range(1, 10))
g2 = (i * pow(10, i) for i in g1)
g3 = (pow((1 + 1 / i), i) for i in g2)
[e for e in g3]  # Euler's number

上面的 (generator expressions) 是一行版的 generator，並沒有用到 yield 語法。一層一層把 generator 傳下去，資料可以在每一層做相對應的處理。[3]

讀者應該可以漸漸感受到 generator 強大的魔力，接下來我們要開始用可怕的 yield 語法。免責聲明，下面兩個範例純屬示範 XD

大老二發牌

import itertools, random, collections


def coroutine(func):
    """
    用來 activate generator
    """

    def decorated(*args, **kwargs):
        g = func(*args, **kwargs)
        next(g)
        return g
    return decorated

def dealer(players):
    """
    撲克牌大老二，每張牌用 (number, color) 來表示
    """

    poker = [card for card in itertools.product(range(1, 13 + 1), range(4))]
    random.shuffle(poker)

    for i, card in enumerate(poker):
        players[i % len(players)].send(card)

    for p in players:
        p.close()

@coroutine
def player(name=None):
    player = dict(name=name, hand=[])

    try:
        while True:
            card = (yield)
            player['hand'].append(card)
    finally:
        sort_card().send(player)
        print(player)

@coroutine
def sort_card():
    player = (yield)
    player['hand'] = sorted(player['hand'], key=lambda t: (14, 3) if t == (2, 3) else t)
    yield 'end'


players = [player() for i in range(4)]
dealer(players)

十點半發牌

def dealer(players):
    """
    撲克牌十點半
    """

    poker = [card for card in itertools.product(range(1, 13 + 1), range(4))]
    poker = [*filter(lambda card: card[1] in (0, 3), poker)]  # 濾掉紅色的牌
    random.shuffle(poker)

    players.append(player(name='dealer', dealer=True))  # 莊家

    compare_pipe = compare_with_dealer()

    while len(players) > 0:
        p = players[0]
        players.rotate()

        card = poker.pop()
        feedback = p.send(card)
        if feedback is False:
            p.send(compare_pipe)
            players.remove(p)

    compare_pipe.close()

@coroutine
def player(name=None, dealer=False):
    player_record = dict(name=name, hand=[], dealer=dealer)

    while True:
        draw = sum(0.5 if point > 10 else point for point, color in player_record['hand']) < 10.5 - 3
        if draw:
            card = (yield draw)
            player_record['hand'].append(card)
        else:
            compare_pipe = (yield draw)
            compare_pipe.send(player_record)

@coroutine
def compare_with_dealer():
    player_records = []

    try:
        while True:
            player_record = (yield)
            player_record['score'] = sum(0.5 if point > 10 else point for point, color in player_record['hand'])
            if player_record['dealer']:
                dealer_record = player_record
            else:
                player_records.append(player_record)
    finally:
        for player_record in player_records:
            if dealer_record['score'] > 10.5 > player_record['score'] or 10.5 >= player_record['score'] > dealer_record['score']:
                print('winner is {name}'.format(**player_record))


dealer(collections.deque([player(name=i) for i in range(4)]))

打完收工（咦？），這兩個範例只是為了測試 generator.send 而想出來的練習，平常應該不會想要跟 next(generator) 一起使用。generator.send 除了可以傳值給 generator，也可以接收 generator 回傳的 feedback，但請小心使用。當 caller 用 generator.close 結束 generator 時，generator 裡面的 try … finally 語法可以在結束前執行一段程式碼。

以上程式碼皆在 Python 3.5.3 跑過，筆記先寫到這邊，希望各位讀者使用 generator 愉快 : )

關於阿德勒，我想說的是……

2018-04-26T10:58:50+00:00

漫步在荒原，我想找一棵棲身的樹。

日復一日，每天為了生活汲汲營營，我們跟希臘神話裡的薛西弗斯其實沒什麼兩樣，原本我是這樣想的。讀過《被討厭的勇氣》後，開始意識到人類的煩惱大多來自於人際關係。我們害怕自己能力不如別人，害怕被別人討厭，害怕在人際關係中受傷，尤其在競爭日益劇烈的資本社會。但沒有人是完美無缺的，無論是誰都處於「想要奮發向上的狀態」中。渴望自由是人類的天性，但順著欲望或衝動過日子，任憑自我從山頂滾下並不是阿德勒認為的自由，他認為真正的自由其實是將滾落的自己由下往上推的態度。我們不該為了獲得別人的認同，在坡道上不斷翻滾，因為到最後你會變得自己也不認識自己。

Randy Pausch 在 Carnegie Mellon 大學的畢業典禮演講說過：「熱情是你與人的關係，和最後一天來臨時，他們對你的看法。」這點跟阿德勒提到的「社會意識」有點相似，我們都在尋求一個安身立命的歸屬感，而歸屬感並不是待在那裡就能找到，必須自己主動參與才能得到。在找到歸屬感之前，我們要學會接納自己、信任他人、貢獻他人，過程中也許會有迷惘，即使內心有所動搖，也不要仰賴縱向關係，自由自在的向前邁進。